A geometria da informação surgiu da aplicação de conceitos da geometria diferencial, especialmente da geometria riemanniana, para abordar problemas estatísticos. Inicialmente associada apenas à estatística, a área evoluiu e consolidou-se como um campo de estudos próprio, indo além das aplicações puramente estatísticas.

 

Um dos marcos desse desenvolvimento foi a crescente importância da geometria dentro das pesquisas na área, particularmente com o estudo das variedades estatísticas e dualísticas. Essas variedades são analisadas a partir da própria estrutura geométrica dos espaços, investigando seus invariantes geométricos e propriedades diferenciais.

 

Atualmente, a geometria da informação possui um caráter altamente interdisciplinar, sendo aplicada em diversas áreas, como aprendizado de máquina, teoria da informação clássica e quântica e estudos de clusterização, entre outras. Uma das estruturas fundamentais nesse contexto é o espaço das matrizes de covariância, que possui uma estrutura natural de variedade diferenciável e uma família de métricas riemannianas amplamente exploradas na literatura matemática. Esse espaço representa uma interseção natural entre a geometria e a estatística, mas sua relevância se estende ainda mais. Ele pode ser identificado com o espaço de estados de polarização parcial da luz, introduzindo um terceiro campo de estudo na interface entre geometria, estatística e óptica. Dessa forma, o comportamento estatístico de feixes luminosos polarizados pode ser analisado por meio de ferramentas geométricas em espaços curvos, ampliando a compreensão dos fenômenos ópticos sob uma nova perspectiva matemática.

 

Esse avanço destaca a riqueza da geometria da informação e sua capacidade de conectar diferentes domínios do conhecimento, fornecendo um arcabouço matemático sofisticado para a investigação de sistemas complexos em diversas áreas da ciência.